Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với $SO$ và cắt $SO$, $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $I$, $M$, $N$, $P$, $Q$. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác $MNPQ$ và một đáy nằm trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Thể tích khối trụ lớn nhất bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$
Ta có $OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow SO=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Do $\left( MNPQ \right)$ song song với mặt đáy nên $\dfrac{IP}{OC}=\dfrac{SI}{SO}\Leftrightarrow \dfrac{IP}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{SI}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}\Leftrightarrow IP=SI$.
$\Rightarrow IO=SO-OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}-IP$.
Khi đó ta có thể tích khối trụ là $V=IO.\pi .I{{P}^{2}}=\pi \left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2}-IP \right)I{{P}^{2}}$
Cách 1:
Đặt $x=IP$ với $0<x<\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, khi đó:
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2}-x \right){{x}^{2}}$ với $0<x<\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=xa\sqrt{2}-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 & \left( l \right) \\
x=\dfrac{a\sqrt{2}}{3} & \left( n \right) \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{x\in \left( 0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$ $\Rightarrow {{V}_{\max }}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$.
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:
$V=\dfrac{1}{2}\pi \left( a\sqrt{2}-2IP \right)IP.IP\le \dfrac{1}{2}\pi \dfrac{{{\left( a\sqrt{2}-2IP+IP+IP \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a\sqrt{2}-2IP=IP\Leftrightarrow IP=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$
Do $\left( MNPQ \right)$ song song với mặt đáy nên $\dfrac{IP}{OC}=\dfrac{SI}{SO}\Leftrightarrow \dfrac{IP}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{SI}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}\Leftrightarrow IP=SI$.
$\Rightarrow IO=SO-OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}-IP$.
Khi đó ta có thể tích khối trụ là $V=IO.\pi .I{{P}^{2}}=\pi \left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2}-IP \right)I{{P}^{2}}$
Cách 1:
Đặt $x=IP$ với $0<x<\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, khi đó:
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2}-x \right){{x}^{2}}$ với $0<x<\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=xa\sqrt{2}-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 & \left( l \right) \\
x=\dfrac{a\sqrt{2}}{3} & \left( n \right) \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên:
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:
$V=\dfrac{1}{2}\pi \left( a\sqrt{2}-2IP \right)IP.IP\le \dfrac{1}{2}\pi \dfrac{{{\left( a\sqrt{2}-2IP+IP+IP \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a\sqrt{2}-2IP=IP\Leftrightarrow IP=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án D.