Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2. Kí hiệu (H) là khối đa diện có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đã cho. Tính thể tích của (H)
A. $2\sqrt{3}$
B. $4$
C. $\dfrac{9}{2}$
D. $\dfrac{5}{12}$
Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{.2.1}^{2}}=\dfrac{2}{3}$
Gọi M, N, P, Q, E, F, G, H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (như hình vẽ).
Ta có ${{V}_{MNPQGFEH}}={{V}_{S.ABCD}}-({{V}_{S.EFGH}}+{{V}_{F.MBQ}}+{{V}_{G.QCP}}+{{V}_{H.PDN}}+{{V}_{E.MAN}})$
${{V}_{S.EFGH}}=\dfrac{1}{3}d(S;(EFGH)).{{S}_{EFGH}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d(S;(ABCD)).E{{F}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{12}$
${{V}_{S.EFGH}}={{V}_{F.MBQ}}={{V}_{G.QCP}}={{V}_{H.PDN}}={{V}_{E.MAN}}$
$=\dfrac{1}{3}d(E;(AMN)).{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d(S;(ABCD)).\dfrac{1}{2}AM.AN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{24}$
Vậy thể tích cần tính ${{V}_{MNPQGFEH}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{5}{12}$
A. $2\sqrt{3}$
B. $4$
C. $\dfrac{9}{2}$
D. $\dfrac{5}{12}$
Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{.2.1}^{2}}=\dfrac{2}{3}$
Gọi M, N, P, Q, E, F, G, H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (như hình vẽ).
Ta có ${{V}_{MNPQGFEH}}={{V}_{S.ABCD}}-({{V}_{S.EFGH}}+{{V}_{F.MBQ}}+{{V}_{G.QCP}}+{{V}_{H.PDN}}+{{V}_{E.MAN}})$
${{V}_{S.EFGH}}=\dfrac{1}{3}d(S;(EFGH)).{{S}_{EFGH}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d(S;(ABCD)).E{{F}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{12}$
${{V}_{S.EFGH}}={{V}_{F.MBQ}}={{V}_{G.QCP}}={{V}_{H.PDN}}={{V}_{E.MAN}}$
$=\dfrac{1}{3}d(E;(AMN)).{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d(S;(ABCD)).\dfrac{1}{2}AM.AN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{24}$
Vậy thể tích cần tính ${{V}_{MNPQGFEH}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{5}{12}$
Đáp án D.