Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh $AB=a$, góc tạo bởi $(SAB)$ và $(ABC)$ bằng $60{}^\circ $. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng
A. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{6}$
Gọi M là trung điểm AB và gọi O là tâm của tam giác ABC ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot CM \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot (SCM)\Rightarrow AB\bot SM $ và $ AB\bot CM $. Do đó góc giữa $ (SAB) $ và $ (ABC) $ là $ \widehat{SMO}=60{}^\circ $. Mặt khác tam giác ABC đều cạnh a nên $ CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} $. Suy ra $ OM=\dfrac{1}{3}CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6},SO=OM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\dfrac{a}{2} $. Hình nón đã cho có chiều cao $ h=SO=\dfrac{a}{2} $, bán kính đáy $ R=OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3} $ độ dài đường sinh $ l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6} $. Vậy diện tích xung quanh hình nón là $ {{S}_{xq}}=\pi .R.l=\pi .\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{21}}{6}=\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$.
A. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{6}$
Gọi M là trung điểm AB và gọi O là tâm của tam giác ABC ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot CM \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot (SCM)\Rightarrow AB\bot SM $ và $ AB\bot CM $. Do đó góc giữa $ (SAB) $ và $ (ABC) $ là $ \widehat{SMO}=60{}^\circ $. Mặt khác tam giác ABC đều cạnh a nên $ CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} $. Suy ra $ OM=\dfrac{1}{3}CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6},SO=OM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\dfrac{a}{2} $. Hình nón đã cho có chiều cao $ h=SO=\dfrac{a}{2} $, bán kính đáy $ R=OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3} $ độ dài đường sinh $ l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6} $. Vậy diện tích xung quanh hình nón là $ {{S}_{xq}}=\pi .R.l=\pi .\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{21}}{6}=\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$.
Đáp án B.