Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy là $a\sqrt{3}$, cạnh bên bằng $2a$. Điểm $M$ là trung điểm cạnh $AC$. Khoảng cách giữa $BM$ và $\text{S}C$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $a\sqrt{\dfrac{11}{47}}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{13}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ xuống $\left( ABC \right)\Rightarrow H$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Gọi $N,K$ lần lượt là trung điểm $SA, AB$.
Ta có : $\Delta ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}\Rightarrow BM=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow BH=a$ và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
$S{{H}^{2}}=S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$.
+) ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}\Rightarrow {{V}_{A.BMN}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
+) $MN=a$ ; $BN=\sqrt{\dfrac{B{{S}^{2}}+B{{A}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow $ ${{S}_{\Delta BMN}}=\sqrt{p\left( p-BM \right)\left( p-BN \right)\left( p-MN \right)}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{16}$ với $p=\dfrac{BM+BN+MN}{2}$.
+) ${{V}_{A.BMN}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta BMN}}.d\left( A;\left( BMN \right) \right)\Rightarrow d\left( A;\left( BMN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.BMN}}}{{{S}_{\Delta BMN}}}=\dfrac{3.\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}}{\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Ta có: $SC//MN\Rightarrow SC//\left( BMN \right)\Rightarrow d\left( SC,BM \right)=d\left( SC,\left( BMN \right) \right)$
$=d\left( C,\left( BMN \right) \right)=d\left( A,\left( BMN \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$ (do $M$ là trung điểm của $AC$ ).
Bản word bạn đang sử dụng phát hành từ website Tailieuchuan.vn
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $a\sqrt{\dfrac{11}{47}}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{13}$.
Gọi $N,K$ lần lượt là trung điểm $SA, AB$.
Ta có : $\Delta ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}\Rightarrow BM=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow BH=a$ và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
$S{{H}^{2}}=S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$.
+) ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}\Rightarrow {{V}_{A.BMN}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
+) $MN=a$ ; $BN=\sqrt{\dfrac{B{{S}^{2}}+B{{A}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow $ ${{S}_{\Delta BMN}}=\sqrt{p\left( p-BM \right)\left( p-BN \right)\left( p-MN \right)}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{16}$ với $p=\dfrac{BM+BN+MN}{2}$.
+) ${{V}_{A.BMN}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta BMN}}.d\left( A;\left( BMN \right) \right)\Rightarrow d\left( A;\left( BMN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{A.BMN}}}{{{S}_{\Delta BMN}}}=\dfrac{3.\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}}{\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Ta có: $SC//MN\Rightarrow SC//\left( BMN \right)\Rightarrow d\left( SC,BM \right)=d\left( SC,\left( BMN \right) \right)$
$=d\left( C,\left( BMN \right) \right)=d\left( A,\left( BMN \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$ (do $M$ là trung điểm của $AC$ ).
Bản word bạn đang sử dụng phát hành từ website Tailieuchuan.vn
Đáp án A.
