Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a.$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC,$ góc giữa $SG$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là ${{30}^{0}}.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $BC$ và vuông góc với $SA$ chia khối chóp $S.ABC$ thành hai phần ${{V}_{1}}, {{V}_{2}}$ trong đó ${{V}_{1}}$ là phần chứa $A.$ Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ hai phần là:
A. 7
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{7}{6}$
D. 6
Gọi $M$ là trung điểm $BC.$ Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SG \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAM \right)$
Suy ra góc giữa $SG$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là góc giữa $SG$ và $SM\Rightarrow \widehat{GSM}={{30}^{0}}.$
Dựng $MN\bot SA$ tại $N.$ Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot MN \\
& SA\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( NBC \right)$
$\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( NBC \right).$ Xét tam giác $SAM$ ta có:
$SG=MG\cot {{30}^{0}}=\dfrac{1}{2}a; SA=\sqrt{S{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}a.$
Lại có $MN=\dfrac{SG.AM}{SA}=\dfrac{3\sqrt{7}}{14}a; NA=\sqrt{A{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}a\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{d\left[ A;\left( NBC \right) \right]}{d\left[ S;\left( NBC \right) \right]}=\dfrac{NA}{NS}=6.$
A. 7
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{7}{6}$
D. 6
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SG \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAM \right)$
Suy ra góc giữa $SG$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là góc giữa $SG$ và $SM\Rightarrow \widehat{GSM}={{30}^{0}}.$
Dựng $MN\bot SA$ tại $N.$ Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot MN \\
& SA\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( NBC \right)$
$\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( NBC \right).$ Xét tam giác $SAM$ ta có:
$SG=MG\cot {{30}^{0}}=\dfrac{1}{2}a; SA=\sqrt{S{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}a.$
Lại có $MN=\dfrac{SG.AM}{SA}=\dfrac{3\sqrt{7}}{14}a; NA=\sqrt{A{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}a\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{d\left[ A;\left( NBC \right) \right]}{d\left[ S;\left( NBC \right) \right]}=\dfrac{NA}{NS}=6.$
Đáp án D.