Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) bằng
A. $\dfrac{a}{3}$
B. $\dfrac{a}{7}$
C. $\dfrac{7a}{3}$
D. $\dfrac{3a}{7}$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó $SG\bot \left( ABC \right)$
Ta có $\left( \widehat{SA, \left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SM, AG} \right)=\widehat{SAG}\Rightarrow \widehat{SAG}=60{}^\circ $
Ta có $AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ nên
$SG=AG.\tan SAG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\tan 60{}^\circ =a$
Gọi K là giao điểm của BG với MN, khi đó $BG\bot MN$, nên suy ra $MN\bot \left( SGK \right)$
Kẻ $GH\bot SK$, với $H\in SK$. Từ $MN\bot \left( SGK \right)\Rightarrow MN\bot GH$.
Từ $GH\bot SK$ và $MN\bot GH$, suy ra $GH\bot \left( SMN \right)$, do đó $GH=d\left( G; \left( SMN \right) \right)$.
Vì $\dfrac{CN}{GN}=3$ nên $d\left( C; \left( SMN \right) \right)=3d\left( G; \left( SMN \right)=3GH \right)$
Ta có $GN=\dfrac{1}{3}CN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}, GK=\sqrt{G{{N}^{2}}-N{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{4\sqrt{3}}$
$\dfrac{1}{G{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{G{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{G}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{4\sqrt{3}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{49}{{{a}^{2}}}\Rightarrow GH=\dfrac{a}{7}$
Vậy $d\left( C; \left( SMN \right) \right)=3GH=\dfrac{3a}{7}$
A. $\dfrac{a}{3}$
B. $\dfrac{a}{7}$
C. $\dfrac{7a}{3}$
D. $\dfrac{3a}{7}$
Ta có $\left( \widehat{SA, \left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SM, AG} \right)=\widehat{SAG}\Rightarrow \widehat{SAG}=60{}^\circ $
Ta có $AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ nên
$SG=AG.\tan SAG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\tan 60{}^\circ =a$
Gọi K là giao điểm của BG với MN, khi đó $BG\bot MN$, nên suy ra $MN\bot \left( SGK \right)$
Kẻ $GH\bot SK$, với $H\in SK$. Từ $MN\bot \left( SGK \right)\Rightarrow MN\bot GH$.
Từ $GH\bot SK$ và $MN\bot GH$, suy ra $GH\bot \left( SMN \right)$, do đó $GH=d\left( G; \left( SMN \right) \right)$.
Vì $\dfrac{CN}{GN}=3$ nên $d\left( C; \left( SMN \right) \right)=3d\left( G; \left( SMN \right)=3GH \right)$
Ta có $GN=\dfrac{1}{3}CN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}, GK=\sqrt{G{{N}^{2}}-N{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{4\sqrt{3}}$
$\dfrac{1}{G{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{G{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{G}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{4\sqrt{3}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{49}{{{a}^{2}}}\Rightarrow GH=\dfrac{a}{7}$
Vậy $d\left( C; \left( SMN \right) \right)=3GH=\dfrac{3a}{7}$
Đáp án D.