Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng $60{}^\circ $. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng
A. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$
A. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)
Gọi M là trung điểm của AB $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MH\bot AB \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMH \right)$
Do đó $\widehat{\left( SAB \right); \left( ABC \right)}=\widehat{SMH}=60{}^\circ $
Lại có $HM=\dfrac{CM}{3}=\dfrac{\sqrt{3}a}{6}\Rightarrow SH=HM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$
Bán kiính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$
Độ dài đường sinh $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}a}{6}$
Diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi rl=\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$.
Gọi M là trung điểm của AB $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MH\bot AB \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMH \right)$
Do đó $\widehat{\left( SAB \right); \left( ABC \right)}=\widehat{SMH}=60{}^\circ $
Lại có $HM=\dfrac{CM}{3}=\dfrac{\sqrt{3}a}{6}\Rightarrow SH=HM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$
Bán kiính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$
Độ dài đường sinh $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}a}{6}$
Diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi rl=\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$.
Đáp án A.