Cho hình chóp $S A B C D$ có đáy là hình chữ nhật, $A B = a$ , $SA\bot...

The Professor · 23/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S A B C D

có đáy là hình chữ nhật,

A B = a

,

S A ⊥ (A B C D)

, cạnh bên

S C

tạo với

(A B C D)

một góc

60^{\circ}

và tạo với

(S A B)

một góc

α

thỏa mãn

\cos α = \frac{\sqrt{13}}{4}

. Thể tích của khối chóp

S A B C D

bằng
A.

\sqrt{3} a^{3}

.
B.

\frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{4}

.
C.

2 a^{3}

.
D.

\frac{2 a^{3}}{3}

.

Có :

S A ⊥ (A B C D)

\Rightarrow (\hat{S C, (A B C D)})

= (\hat{S C, A C})

= \hat{S C A}

\Rightarrow \hat{S C A} = 60^{\circ}

.

\begin{aligned} C B ⊥ S A \\ C B ⊥ A B \end{aligned}} \Rightarrow C B ⊥ (S A B)

\Rightarrow (\hat{S C, (S A B)}) = (\hat{S C, S B}) = \hat{B S C} = α

\Rightarrow \cos α = \frac{B C}{S C} = \frac{\sqrt{13}}{4}

.
Đặt

B C = x

, ta có

S C = \frac{B C}{\sin \hat{B S C}} = \frac{B C}{\sqrt{1 - \cos^{2} \hat{B S C}}} = \frac{4 x \sqrt{3}}{3}

,

A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + x^{2}}

.

\cos \hat{S C A} = \frac{A C}{S C}

\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{\frac{4 x \sqrt{3}}{3}}

\Leftrightarrow x = a \sqrt{3}

\Rightarrow A C = 2 a

\Rightarrow S A = A C \tan 60^{\circ} = 2 a \sqrt{3}

.
Thể tích khối chóp

S A B C D

bằng

V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 a \sqrt{3} . a^{2} \sqrt{3} = 2 a^{3}

.

Đáp án C.

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a, $SA\bot...