Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $SA\bot \left( ABCD \right)$, cạnh bên $SC$ tạo với $\left( ABCD \right)$ một góc $60{}^\circ $ và tạo với $\left( SAB \right)$ một góc $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{13}}{4}$. Thể tích của khối chóp $SABCD$ bằng
A. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Có : $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)$ $=\left( \widehat{SC,AC} \right)$ $=\widehat{SCA}$ $\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
$\left. \begin{aligned}
& CB\bot SA \\
& CB\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( SAB \right)} \right)=\left( \widehat{SC,SB} \right)=\widehat{BSC}=\alpha $ $ \Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{BC}{SC}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
Đặt $BC=x$, ta có
$SC=\dfrac{BC}{\sin \widehat{BSC}}=\dfrac{BC}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BSC}}}=\dfrac{4x\sqrt{3}}{3}$, $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
$\cos \widehat{SCA}=\dfrac{AC}{SC}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\dfrac{4x\sqrt{3}}{3}}$ $\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow AC=2a$
$\Rightarrow SA=AC\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp $SABCD$ bằng $V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{3}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=2{{a}^{3}}$.
A. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Có : $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)$ $=\left( \widehat{SC,AC} \right)$ $=\widehat{SCA}$ $\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
$\left. \begin{aligned}
& CB\bot SA \\
& CB\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( SAB \right)} \right)=\left( \widehat{SC,SB} \right)=\widehat{BSC}=\alpha $ $ \Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{BC}{SC}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
Đặt $BC=x$, ta có
$SC=\dfrac{BC}{\sin \widehat{BSC}}=\dfrac{BC}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BSC}}}=\dfrac{4x\sqrt{3}}{3}$, $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
$\cos \widehat{SCA}=\dfrac{AC}{SC}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\dfrac{4x\sqrt{3}}{3}}$ $\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow AC=2a$
$\Rightarrow SA=AC\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp $SABCD$ bằng $V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{3}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=2{{a}^{3}}$.
Đáp án C.