Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M', N', P', Q' lần lượt là hình chiếu của M, N, P, Q lên mặt đáy. Tìm tỉ số $\dfrac{SM}{SA}$ để thể tích khối đa diện MNPQ.M'N'P'Q' lớn nhất.
A. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{3}{4}$
B. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{3}$
Đặt $\dfrac{SM}{SA}=x$. Suy ra $\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{SQ}{SD}=x$
Gọi h, h' lần lượt là chiều cao hình chóp và chiều cao khối đa diện MNPQ.M'N'P'Q'.
Do $MN//AB$ nên ta có $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{MN}{AB}\Leftrightarrow x=\dfrac{MN}{AB}\Leftrightarrow MN=x.AB$
Tương tự ta có $NP=xBC$
Ta có ${{S}_{MNP}}={{x}^{2}}.{{S}_{ABC}}\Leftrightarrow {{S}_{MNPQ}}={{x}^{2}}{{S}_{ABCD}}$ (vì ∆MNP đồng dạng với ∆ABC)
Mặt khác ta có $\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{{{h}'}}{h}\Leftrightarrow \dfrac{SA-SM}{SA}=\dfrac{{{h}'}}{h}\Leftrightarrow 1-x=\dfrac{{{h}'}}{h}\Leftrightarrow {h}'=\left( 1-x \right)h$
Ta có ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}={h}'.{{S}_{MNPQ}}=\left( 1-x \right)h.{{x}^{2}}.{{S}_{ABCD}}=\left( 1-x \right){{x}^{2}}.h.{{S}_{ABCD}}$
Do $h, {{S}_{ABCD}}$ không thay đổi nên ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\left( 1-x \right){{x}^{2}}$ đạt lớn nhất.
Ta có $\left( 1-x \right){{x}^{2}}=4.\left( 1-x \right)\dfrac{x}{2}\dfrac{x}{2}\le 4.\dfrac{{{\left( 1-x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2} \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{4}{27}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $1-x=\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
A. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{3}{4}$
B. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{3}$
Gọi h, h' lần lượt là chiều cao hình chóp và chiều cao khối đa diện MNPQ.M'N'P'Q'.
Do $MN//AB$ nên ta có $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{MN}{AB}\Leftrightarrow x=\dfrac{MN}{AB}\Leftrightarrow MN=x.AB$
Tương tự ta có $NP=xBC$
Ta có ${{S}_{MNP}}={{x}^{2}}.{{S}_{ABC}}\Leftrightarrow {{S}_{MNPQ}}={{x}^{2}}{{S}_{ABCD}}$ (vì ∆MNP đồng dạng với ∆ABC)
Mặt khác ta có $\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{{{h}'}}{h}\Leftrightarrow \dfrac{SA-SM}{SA}=\dfrac{{{h}'}}{h}\Leftrightarrow 1-x=\dfrac{{{h}'}}{h}\Leftrightarrow {h}'=\left( 1-x \right)h$
Ta có ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}={h}'.{{S}_{MNPQ}}=\left( 1-x \right)h.{{x}^{2}}.{{S}_{ABCD}}=\left( 1-x \right){{x}^{2}}.h.{{S}_{ABCD}}$
Do $h, {{S}_{ABCD}}$ không thay đổi nên ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\left( 1-x \right){{x}^{2}}$ đạt lớn nhất.
Ta có $\left( 1-x \right){{x}^{2}}=4.\left( 1-x \right)\dfrac{x}{2}\dfrac{x}{2}\le 4.\dfrac{{{\left( 1-x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2} \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{4}{27}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $1-x=\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án B.