Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và $SO\bot \left( ABCD...

Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh
$\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)=\left( BM;DM \right)$
Tính các cạnh BM, DM ,BD và sử dụng định lí cosin trong tam giác BDM.
Gọi M là trung điểm của SC .
Tam giác SBC cân tại B $\Rightarrow BM\bot SC.$
Xét tam giác SBD có SO là trung tuyến đồng thời là đường cao
$\Rightarrow ~\Delta SBC$ cân tại $S\Rightarrow SB=SD=a$
$\Delta SCD c\acute{o} SD=CD=a\Rightarrow \Delta SCD$ cân tại D $\Rightarrow DM\bot SC.$
Ta có: $\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( SCD \right)=SC \\
& \left( SBC \right)\supset BM\bot SC \\
& \left( SCD \right)\supset DM\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)=\left( BM;DM \right) \\
& \\
\end{aligned}$
Xét hình chóp B.SAC ta có $BC=BS=BA=a\Rightarrow $ Hình chiếu của B lên (SAC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BO\bot AC\left( gt \right) \\
& BO\bot SO\left( SO\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BO\bot \left( SAC \right)\Rightarrow O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \Delta SAC.$
$\Delta SAC$ vuông cân tại S
$\Rightarrow AC=2SO=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow SA=SC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác vuông OAB có:
$OB=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=2OB=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác vuông BCM có:
$BM=\sqrt{B{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=DM$
Áp dụng định lí cos trong tam giác BDM ta có:
$\cos \widehat{BMD}=\dfrac{B{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2BM.DM}=\dfrac{\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}{2.\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}}=0\Rightarrow \widehat{BMD}={{90}^{\circ }}$
Vậy $(\widehat{(SBC);(SCD)})={{90}^{\circ }}$