Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=3a, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Khoảng cách giữa SC, DM bằng
A. $\dfrac{2a}{3}.$
B. $\dfrac{a}{\sqrt{6}}.$
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{6}}.$
D. $\dfrac{a}{3}.$
A. $\dfrac{2a}{3}.$
B. $\dfrac{a}{\sqrt{6}}.$
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{6}}.$
D. $\dfrac{a}{3}.$
Gọi N là trung điểm $BC\Rightarrow MN\text{ // SC}\Rightarrow \text{SC // }\left( MND \right)$
$d\left( SC;DM \right)=d\left[ SC;\left( MND \right) \right]=d\left[ S;\left( MND \right) \right]=d\left[ B;\left( MND \right) \right]$
Ta có ${{V}_{M.BDN}}=\dfrac{1}{3}d\left[ M;\left( ABCD \right) \right].{{S}_{\Delta BDN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Lại có $MN=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{11}a}{2}; ND=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}$ và $MD=\dfrac{\sqrt{14}a}{2}$
Suy ra ${{S}_{\Delta MND}}=\dfrac{3\sqrt{6}{{a}^{2}}}{8}\Rightarrow d\left[ B;\left( MND \right) \right]=\dfrac{3{{V}_{M.BDN}}}{{{S}_{\Delta MND}}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
$d\left( SC;DM \right)=d\left[ SC;\left( MND \right) \right]=d\left[ S;\left( MND \right) \right]=d\left[ B;\left( MND \right) \right]$
Ta có ${{V}_{M.BDN}}=\dfrac{1}{3}d\left[ M;\left( ABCD \right) \right].{{S}_{\Delta BDN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Lại có $MN=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{11}a}{2}; ND=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}$ và $MD=\dfrac{\sqrt{14}a}{2}$
Suy ra ${{S}_{\Delta MND}}=\dfrac{3\sqrt{6}{{a}^{2}}}{8}\Rightarrow d\left[ B;\left( MND \right) \right]=\dfrac{3{{V}_{M.BDN}}}{{{S}_{\Delta MND}}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
Đáp án B.