Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{6}$. Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD=a$. Gọi $E$ là trung điểm $AD$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ECD$.
A. $R=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$.
B. $R=a\sqrt{\dfrac{19}{6}}$.
C. $R=a\sqrt{6}$.
D. $R=\sqrt{\dfrac{114}{6}}.a$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, sao cho $A\equiv O$ và $B\left( 0;0;a \right),D\left( 0;2a;0 \right),S\left( 0;0;a\sqrt{6} \right)$.
Suy ra $C\left( a;a;0 \right),E\left( 0;a;0 \right)$
Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ECD$ có phương trình là:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2ny-2kz+d=0$
Thay tọa độ các điểm $S,E,C,D$ vào phương trình mặt cầu ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 2a\sqrt{6}k-d=6{{a}^{2}} \\
& 2na-d={{a}^{2}} \\
& 4na-d=4{{a}^{2}} \\
& 2ma+2na-d=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{a}{2} \\
& n=\dfrac{3a}{2} \\
& k=\dfrac{4}{\sqrt{6}}a \\
& d=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $. Do đó bán kính $ R=\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{k}^{2}}-{{d}^{2}}}=a\sqrt{\dfrac{19}{6}}$
A. $R=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$.
B. $R=a\sqrt{\dfrac{19}{6}}$.
C. $R=a\sqrt{6}$.
D. $R=\sqrt{\dfrac{114}{6}}.a$.
Suy ra $C\left( a;a;0 \right),E\left( 0;a;0 \right)$
Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ECD$ có phương trình là:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2ny-2kz+d=0$
Thay tọa độ các điểm $S,E,C,D$ vào phương trình mặt cầu ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 2a\sqrt{6}k-d=6{{a}^{2}} \\
& 2na-d={{a}^{2}} \\
& 4na-d=4{{a}^{2}} \\
& 2ma+2na-d=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{a}{2} \\
& n=\dfrac{3a}{2} \\
& k=\dfrac{4}{\sqrt{6}}a \\
& d=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $. Do đó bán kính $ R=\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{k}^{2}}-{{d}^{2}}}=a\sqrt{\dfrac{19}{6}}$
Đáp án B.