Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot \left( ABCD \right),SA=2a,ABCD$ là hình vuông cạnh a. Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho $SM=4MB,E$ là trung điểm của AB. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa AM song song với BD cắt SC,SD lần lượt tại N,P. Thể tích của khối chóp E.AMNP bằng
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{45}$
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{15}$
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{45}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{45}$
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{45}$
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{15}$
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{45}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{45}$
Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1; y=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{4}{5}; z=\dfrac{SN}{SC}; t=\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{4}{5}$
Áp dụng công thức nhanh ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}$
Suy ra $z=\dfrac{2}{3}$ nên $\dfrac{{{V}_{S.AMNF}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{8}{15}$
Lại có $d\left( S;AMNP \right)=4{{d}_{B}}$ và $d\left( E;\left( AMNP \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B;\left( AMNP \right) \right)$
Do đó ${{d}_{E}}=\dfrac{1}{8}d\left( E;\left( AMNP \right) \right)\Rightarrow {{V}_{E.AMNP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.AMNF}}$
$\Rightarrow {{V}_{E.AMNP}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{8}{15}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{3}.2{{a}^{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{15}$.
Áp dụng công thức nhanh ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}$
Suy ra $z=\dfrac{2}{3}$ nên $\dfrac{{{V}_{S.AMNF}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{8}{15}$
Lại có $d\left( S;AMNP \right)=4{{d}_{B}}$ và $d\left( E;\left( AMNP \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B;\left( AMNP \right) \right)$
Do đó ${{d}_{E}}=\dfrac{1}{8}d\left( E;\left( AMNP \right) \right)\Rightarrow {{V}_{E.AMNP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.AMNF}}$
$\Rightarrow {{V}_{E.AMNP}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{8}{15}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{3}.2{{a}^{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{15}$.
Đáp án B.