Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H...

Ta có hai mặt phẳng , vuông góc với nhau suy ra với là các hình chiếu vuông góc của trên các cạnh và . Khi đó nằm trên đoạn Lại có \)">\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60{}^\circ =\frac{d\left( N;\left( SAB \right) \right)}{d\left( N;SB \right)}=\frac{a}{d\left( N;SB \right)} \\
& \frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45{}^\circ =\frac{d\left( M;\left( SAB \right) \right)}{d\left( M;SA \right)}=\frac{a}{d\left( M;SA \right)} \\
\end{align} \right.d\left( N;SB \right)=\frac{2a}{\sqrt{3}}d\left( M;SA \right)=a\sqrt{2}\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{d{{\left( N;SB \right)}^{2}}}=\frac{3}{4{{a}^{2}}}=\frac{1}{S{{N}^{2}}}+\frac{1}{N{{B}^{2}}} \\
& \frac{1}{d{{\left( M;SA \right)}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}=\frac{1}{S{{M}^{2}}}+\frac{1}{M{{A}^{2}}} \\
\end{align} \right.NB=MA=HK\frac{5}{4{{a}^{2}}}=\frac{1}{S{{M}^{2}}}+\frac{1}{S{{N}^{2}}}+\frac{2}{H{{K}^{2}}}=\left( \frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{K}^{2}}} \right)+\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HK=2a\frac{1}{S{{N}^{2}}}=\frac{3}{4{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SN=a\sqrt{2}\frac{1}{S{{M}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SM=2a\Rightarrow SH=\frac{2a}{\sqrt{3}}MN=a\sqrt{6}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}.{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.