Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng

(S A D)

,

(S B C)

vuông góc với nhau. Góc giữa hai mặt phẳng

(S A B)

,

(S B C)

bằng 60°, góc giữa hai mặt phẳng

(S A B)

,

(S A D)

bằng 45°. Biết rằng khoảng cách từ H tới

(S A B)

bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là
A.

V = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
B.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}

.
C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}

.
D.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

Ta có hai mặt phẳng

(S A D)

,

(S B C)

vuông góc với nhau suy ra

\hat{M S N} = 90^{\circ}

với

M, N

là các hình chiếu vuông góc của

S

trên các cạnh

A D

và

B C

. Khi đó

H

nằm trên đoạn $MN\

Lại có

{\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^{\circ} = \frac{d (N; (S A B))}{d (N; S B)} = \frac{a}{d (N; S B)} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin 45^{\circ} = \frac{d (M; (S A B))}{d (M; S A)} = \frac{a}{d (M; S A)} \end{aligned}

.
Do vậy

d (N; S B) = \frac{2 a}{\sqrt{3}}

,

d (M; S A) = a \sqrt{2}

. Bên cạnh đó ta lại

{\begin{aligned} \frac{1}{d {(N; S B)}^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}} = \frac{1}{S N^{2}} + \frac{1}{N B^{2}} \\ \frac{1}{d {(M; S A)}^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} = \frac{1}{S M^{2}} + \frac{1}{M A^{2}} \end{aligned}

Do

N B = M A = H K

suy ra

\frac{5}{4 a^{2}} = \frac{1}{S M^{2}} + \frac{1}{S N^{2}} + \frac{2}{H K^{2}} = (\frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}}) + \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{H K^{2}} \Rightarrow H K = 2 a

.
Vậy

\frac{1}{S N^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}} - \frac{1}{4 a^{2}} \Leftrightarrow S N = a \sqrt{2}

;

\frac{1}{S M^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} - \frac{1}{4 a^{2}} \Leftrightarrow S M = 2 a \Rightarrow S H = \frac{2 a}{\sqrt{3}}

;

M N = a \sqrt{6}

.
Thể tích khối chóp S.ABCD là

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S H = \frac{1}{3} . {(a \sqrt{6})}^{2} . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

Đáp án A.