Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $\sqrt{2}$. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua A vuông góc SC và cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện $CMNP$
A. $V=\dfrac{8\pi \sqrt{2}}{3}$
B. $V=\dfrac{4\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{8\pi }{3}$
D. $V=\dfrac{24\pi }{3}$
A. $V=\dfrac{8\pi \sqrt{2}}{3}$
B. $V=\dfrac{4\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{8\pi }{3}$
D. $V=\dfrac{24\pi }{3}$
Mặt phẳng $P\equiv \left( AMNP \right)\Rightarrow SC\bot \left( AMNP \right)\Rightarrow SC\bot AM,SC\bot AN,SC\bot AP$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM$
Mà $AM\bot SC\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC$
Chứng minh tương tự ta cũng có $AP\bot PC$
Như vậy các đỉnh M, N, P cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua bốn đỉnh C, M, N, P có đường kính là đoạn AC.
Suy ra bán kính mặt cầu là $R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=1$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là $V=\dfrac{4\pi {{R}^{3}}}{3}=\dfrac{4\pi }{3}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM$
Mà $AM\bot SC\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC$
Chứng minh tương tự ta cũng có $AP\bot PC$
Như vậy các đỉnh M, N, P cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua bốn đỉnh C, M, N, P có đường kính là đoạn AC.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là $V=\dfrac{4\pi {{R}^{3}}}{3}=\dfrac{4\pi }{3}$
Đáp án B.