Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Biết $SC=a\sqrt{7}$ và mặt phẳng $(SDC)$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $30{}^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$
A. $3{{a}^{3}}$
B. ${{a}^{3}}$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
Ta có :$\left\{ \begin{aligned}
& (SCD)\cap (ABCD)=DC \\
& AD\subset (ABCD),AD\bot DC\Rightarrow ((ABCD),(SDC))=SDA=30{}^\circ \\
& SD\subset (SDC),SD\bot DC \\
\end{aligned} \right.$
Gọi cạnh hình vuông là $x\Rightarrow SA=x.\tan 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ và $AC=\sqrt{2}x$
Lại có $S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}$ hay ${{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}x \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}x \right)}^{2}}$ : Từ đó ta có $x=\sqrt{3}a$
Do đó $SA=a$
Thể tích khối chóp cần tìm là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}={{a}^{3}}$
A. $3{{a}^{3}}$
B. ${{a}^{3}}$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
Ta có :$\left\{ \begin{aligned}
& (SCD)\cap (ABCD)=DC \\
& AD\subset (ABCD),AD\bot DC\Rightarrow ((ABCD),(SDC))=SDA=30{}^\circ \\
& SD\subset (SDC),SD\bot DC \\
\end{aligned} \right.$
Gọi cạnh hình vuông là $x\Rightarrow SA=x.\tan 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ và $AC=\sqrt{2}x$
Lại có $S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}$ hay ${{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}x \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}x \right)}^{2}}$ : Từ đó ta có $x=\sqrt{3}a$
Do đó $SA=a$
Thể tích khối chóp cần tìm là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}={{a}^{3}}$
Đáp án B.