Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. Biết $SA=2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $O$ là trung điểm của $AC$ nên $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot SB$.
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC$ và $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AB\bot BC$. Từ đó suy ra $BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot AH$.
Từ đây ta suy ra $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBC \right) \right)$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$. Vậy $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$.
Kẻ $AH\bot SB$.
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC$ và $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AB\bot BC$. Từ đó suy ra $BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot AH$.
Từ đây ta suy ra $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBC \right) \right)$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$. Vậy $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án A.