Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}.$
C. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}.$
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}.$
Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của AB. Kẻ $IK//BD,K\in AC$ ; kẻ $IH\bot SK,H\in SK\left( 1 \right)$.
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ và tam giác SAB đều nên $SI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SI\bot AC$. Lại có $IK\bot AC$, suy ra $AC\bot \left( SIK \right)\Rightarrow AC\bot IH\left( 2 \right)$. Từ (1) và (2) suy ra $IH\bot \left( SAC \right)$ suy ra IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng SAC bằng
Ta có $IK=\dfrac{1}{2}BO=\dfrac{\sqrt{2}a}{4}$, tam giác SIK vuông tại I nên
$\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{K}^{2}}}=\dfrac{28}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow IH=\dfrac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{7}}$
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng hai lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC) nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là $d=\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}.$
C. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}.$
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}.$
Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của AB. Kẻ $IK//BD,K\in AC$ ; kẻ $IH\bot SK,H\in SK\left( 1 \right)$.
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ và tam giác SAB đều nên $SI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SI\bot AC$. Lại có $IK\bot AC$, suy ra $AC\bot \left( SIK \right)\Rightarrow AC\bot IH\left( 2 \right)$. Từ (1) và (2) suy ra $IH\bot \left( SAC \right)$ suy ra IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng SAC bằng
Ta có $IK=\dfrac{1}{2}BO=\dfrac{\sqrt{2}a}{4}$, tam giác SIK vuông tại I nên
$\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{K}^{2}}}=\dfrac{28}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow IH=\dfrac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{7}}$
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng hai lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC) nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là $d=\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
Đáp án C.