Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}.$
A. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}.$
Định hướng giải.
Ta xem $d\left( A,\left( SBD \right) \right)$ bằng bao nhiêu lần $d\left( H,\left( SBD \right) \right),$ từ hình vẽ dưới đây ta thấy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right).$ Tính $d\left( H,\left( SBD \right) \right).$
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, $SH\bot \left( ABCD \right).$ Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra $AC\bot BD.$ Kẻ $HK\bot BD$ tại K (K là trung điểm BO). Kẻ $HI\bot SK$ tại I. Khi đó:
$d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)=2HI.$
Xét tam giác SHK, có: $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},$
$HK=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Khi đó: $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{28}{3{{a}^{2}}}=\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}.$ Suy ra: $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Ta xem $d\left( A,\left( SBD \right) \right)$ bằng bao nhiêu lần $d\left( H,\left( SBD \right) \right),$ từ hình vẽ dưới đây ta thấy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right).$ Tính $d\left( H,\left( SBD \right) \right).$
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, $SH\bot \left( ABCD \right).$ Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra $AC\bot BD.$ Kẻ $HK\bot BD$ tại K (K là trung điểm BO). Kẻ $HI\bot SK$ tại I. Khi đó:
$d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)=2HI.$
Xét tam giác SHK, có: $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},$
$HK=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Khi đó: $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{28}{3{{a}^{2}}}=\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}.$ Suy ra: $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án B.