Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $2a.$
C. $\dfrac{a}{2}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left( SB;\left( ABCD \right) \right)=\left( SB;AB \right)=\widehat{SAB}=60{}^\circ \Rightarrow SA=AB.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}.$
$\left( SBC \right)$ là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên:
$d\left( SC;AD \right)=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right).$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( SBC \right)$ nên $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH.$
Xét tam giác SAB vuông tại A ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow d\left( SC,AD \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $2a.$
C. $\dfrac{a}{2}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left( SB;\left( ABCD \right) \right)=\left( SB;AB \right)=\widehat{SAB}=60{}^\circ \Rightarrow SA=AB.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}.$
$\left( SBC \right)$ là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên:
$d\left( SC;AD \right)=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right).$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( SBC \right)$ nên $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH.$
Xét tam giác SAB vuông tại A ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow d\left( SC,AD \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án D.