Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mp $\left( SBD \right)$.
A. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right) $, $ BD\subset \left( SBD \right) $ $ \Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( SAC \right) $ và $ \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO$
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, kẻ $AH\bot SO$ thì $AH\bot \left( SBD \right)$ $\Rightarrow AH=d\left( A, \left( SBD \right) \right)$.
Mặt khác
Tam giác $SAO$ vuông tại $A$ có $OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$, $SA=a$ và $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Vậy $d\left( A, \left( SBD \right) \right)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
A. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right) $, $ BD\subset \left( SBD \right) $ $ \Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( SAC \right) $ và $ \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO$
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, kẻ $AH\bot SO$ thì $AH\bot \left( SBD \right)$ $\Rightarrow AH=d\left( A, \left( SBD \right) \right)$.
Mặt khác
Tam giác $SAO$ vuông tại $A$ có $OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$, $SA=a$ và $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Vậy $d\left( A, \left( SBD \right) \right)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
Đáp án B.