Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $H, SH\bot \left( ABCD \right)$. Hai đường chéo $AC=2a,BD=a\sqrt{2};M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,SB;P\in CD$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mp $\left( MNP \right)$ bằng $a$, thể tích khối đa diện $AMNP$ bằng?
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Ta có $CM\cap SH=I\Rightarrow \left( MNP \right)\cap SH=I$. $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$.
Lại có ${{d}_{\left( H,\left( MNP \right) \right)}}=\dfrac{1}{2}{{d}_{\left( A,\left( MNP \right) \right)}}=\dfrac{a}{2}$.
Suy ra $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=a\Rightarrow SH=3a$.
Vậy ${{V}_{S.ADB}}=\dfrac{1}{3}SH\cdot \dfrac{1}{2}BD\cdot AH=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Mặt khác ${{V}_{PAMN}}={{V}_{DAMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Lại có ${{d}_{\left( H,\left( MNP \right) \right)}}=\dfrac{1}{2}{{d}_{\left( A,\left( MNP \right) \right)}}=\dfrac{a}{2}$.
Suy ra $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=a\Rightarrow SH=3a$.
Vậy ${{V}_{S.ADB}}=\dfrac{1}{3}SH\cdot \dfrac{1}{2}BD\cdot AH=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Mặt khác ${{V}_{PAMN}}={{V}_{DAMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
Đáp án A.