Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ ; $AB=BC=a;$ $AD=2a$ ; $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right),$ góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng ${{45}^{\circ }}.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$ là:
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{11}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{11}}{22}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Ta có $\widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}={{45}^{0}}\Rightarrow SA=AC=a\sqrt{2}$
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, khi đó $AB$ song song với $\left( SMK \right)$.
Do đó $d\left( BD,SM \right)=d\left( BD,\left( SMK \right) \right)=d\left( B,\left( SMK \right) \right)=d\left( A,\left( SMK \right) \right)$.
Gọi $I,J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $MK$ và $SI$.
Khi đó $MK\bot AI, MK\bot SA\Rightarrow MK\bot AJ$. Do $AJ\bot MK$ và $AJ\bot SI$ nên $AJ\bot \left( SMK \right)$ hay $d\left( A,\left( AMK \right) \right)=AJ$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{11}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AJ=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{11}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{11}}{22}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, khi đó $AB$ song song với $\left( SMK \right)$.
Do đó $d\left( BD,SM \right)=d\left( BD,\left( SMK \right) \right)=d\left( B,\left( SMK \right) \right)=d\left( A,\left( SMK \right) \right)$.
Gọi $I,J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $MK$ và $SI$.
Khi đó $MK\bot AI, MK\bot SA\Rightarrow MK\bot AJ$. Do $AJ\bot MK$ và $AJ\bot SI$ nên $AJ\bot \left( SMK \right)$ hay $d\left( A,\left( AMK \right) \right)=AJ$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{11}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AJ=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$
Đáp án B.