Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy $\left( ABCD \right)$ trùng với trung điểm AB. Biết $AB=1,BC=2,\text{BD}=\sqrt{10}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và mặt phẳng đáy là $60{}^\circ $. Tính thể tích V của khối chóp $S.ABCD$
A. $V=\dfrac{\sqrt{30}}{12}.$
B. $V=\dfrac{\sqrt{30}}{20}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{30}}{4}.$
D. $V=\dfrac{3\sqrt{30}}{8}.$
A. $V=\dfrac{\sqrt{30}}{12}.$
B. $V=\dfrac{\sqrt{30}}{20}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{30}}{4}.$
D. $V=\dfrac{3\sqrt{30}}{8}.$
Gọi M là trung điểm AB và K là hình chiếu vuông góc của M lên BD.
$\Rightarrow \overset\frown{\left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\overset\frown{SKM}\Rightarrow \overset\frown{SKM}=60{}^\circ $.
Do ΔABD vuông tại A nên $AD=\sqrt{B{{D}^{2}}-B{{A}^{2}}}=3$.
Kẻ $AH\bot BD\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$.
$\Rightarrow AH=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\Rightarrow MK=\dfrac{3\sqrt{10}}{20}\Rightarrow SM=MK.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{30}}{20}$.
Ta có $\tan \overset\frown{ABD}=3\Rightarrow \overset\frown{ABD}=\arctan \left( 3 \right)\Rightarrow \overset\frown{DBC}=90{}^\circ -\arctan \left( 3 \right)$.
$\Rightarrow {{S}_{DBC}}=\dfrac{1}{2}DB.BC.\sin \left( 90{}^\circ -\arctan \left( 3 \right) \right)=1\Rightarrow {{V}_{SDBC}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{DBC}}=\dfrac{\sqrt{30}}{20}$.
$\Rightarrow \overset\frown{\left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\overset\frown{SKM}\Rightarrow \overset\frown{SKM}=60{}^\circ $.
Do ΔABD vuông tại A nên $AD=\sqrt{B{{D}^{2}}-B{{A}^{2}}}=3$.
Kẻ $AH\bot BD\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$.
$\Rightarrow AH=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\Rightarrow MK=\dfrac{3\sqrt{10}}{20}\Rightarrow SM=MK.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{30}}{20}$.
Ta có $\tan \overset\frown{ABD}=3\Rightarrow \overset\frown{ABD}=\arctan \left( 3 \right)\Rightarrow \overset\frown{DBC}=90{}^\circ -\arctan \left( 3 \right)$.
$\Rightarrow {{S}_{DBC}}=\dfrac{1}{2}DB.BC.\sin \left( 90{}^\circ -\arctan \left( 3 \right) \right)=1\Rightarrow {{V}_{SDBC}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{DBC}}=\dfrac{\sqrt{30}}{20}$.
Đáp án B.