Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB=2a,AD=a\sqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là $30{}^\circ $. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. $8\pi {{a}^{2}}.$
B. $\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}.$
C. $4\pi {{a}^{2}}.$
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{2}}}{3}.$
Gọi $O=AC\cap BD$.
Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên góc giữa SD và đáy bằng $SDA=30{}^\circ $.
Tam giác SAD vuông tại A có $AD=a\sqrt{3},SDA=30{}^\circ $.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow SA=AD.\tan 30{}^\circ =a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=a \\
& \Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AS=\dfrac{a}{2};AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{2}\Rightarrow S=4\pi A{{I}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.$
Chú ý khi giải: Các em cũng có thể sử dụng ngay công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, đó là $R=\sqrt{{{r}^{2}}+\dfrac{{{h}^{2}}}{4}}$, với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là độ dài cạnh bên vuông góc đáy.
A. $8\pi {{a}^{2}}.$
B. $\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}.$
C. $4\pi {{a}^{2}}.$
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{2}}}{3}.$
Gọi $O=AC\cap BD$.
Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên góc giữa SD và đáy bằng $SDA=30{}^\circ $.
Tam giác SAD vuông tại A có $AD=a\sqrt{3},SDA=30{}^\circ $.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow SA=AD.\tan 30{}^\circ =a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=a \\
& \Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AS=\dfrac{a}{2};AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{2}\Rightarrow S=4\pi A{{I}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.$
Chú ý khi giải: Các em cũng có thể sử dụng ngay công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, đó là $R=\sqrt{{{r}^{2}}+\dfrac{{{h}^{2}}}{4}}$, với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là độ dài cạnh bên vuông góc đáy.
Đáp án A.