Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $BC=2a$ ; SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
A. $\dfrac{\sqrt{30}a}{6}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{21}a}{21}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{21}a}{21}$.
D. $\dfrac{\sqrt{30}a}{12}$.
Gán hệ trục Oxyz như hình vẽ
Ta có: $B\left( a;0;0 \right)$, $D\left( 0;2a;0 \right)$, $C\left( a;2a;0 \right)$, $S\left( 0;0;a \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BD}=\left( -a;2a;0 \right)$, $\overrightarrow{SC}=\left( a;2a;-a \right)$
$\left[ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{SC} \right]=\left( -2{{a}^{2}};-{{a}^{2}};-4{{a}^{2}} \right)$. $\overrightarrow{BC}=\left( 0;2a;0 \right)$
Vậy $d\left( BD,SC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{SC} \right].\overrightarrow{BC} \right|}{\left| \overrightarrow{\left[ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{SC} \right]} \right|}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$
Cách khác
Lấy E sao cho BDEC là hình bình hành, lúc này $d\left( BD,SC \right)=d\left( BD,\left( SEC \right) \right)=d\left( D,\left( SEC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SEC \right) \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{30}a}{6}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{21}a}{21}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{21}a}{21}$.
D. $\dfrac{\sqrt{30}a}{12}$.
Gán hệ trục Oxyz như hình vẽ
Ta có: $B\left( a;0;0 \right)$, $D\left( 0;2a;0 \right)$, $C\left( a;2a;0 \right)$, $S\left( 0;0;a \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BD}=\left( -a;2a;0 \right)$, $\overrightarrow{SC}=\left( a;2a;-a \right)$
$\left[ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{SC} \right]=\left( -2{{a}^{2}};-{{a}^{2}};-4{{a}^{2}} \right)$. $\overrightarrow{BC}=\left( 0;2a;0 \right)$
Vậy $d\left( BD,SC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{SC} \right].\overrightarrow{BC} \right|}{\left| \overrightarrow{\left[ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{SC} \right]} \right|}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$
Cách khác
Lấy E sao cho BDEC là hình bình hành, lúc này $d\left( BD,SC \right)=d\left( BD,\left( SEC \right) \right)=d\left( D,\left( SEC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SEC \right) \right)$.
Đáp án C.