Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là $ABCD$ là hình chữ nhật. Tam giác $SAB$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( ABCD \right)$. Biết rằng $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$ và $\widehat{ASB}=60{}^\circ $. Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
A. $S=\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{2}$.
B. $S=\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $S=\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{2}$.
D. $S=\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Gọi $R$, ${{R}_{SAB}}$ lần lượt là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$, khi đó ${{R}_{SAB}}=\dfrac{AB}{2\sin \widehat{ASB}}=\dfrac{a}{2\sin 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ cũng là khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Mặt khác hình chóp $S.ABC$ là một hình chóp có cạnh bên $BC$ vuông góc với mặt đáy nên $R=\sqrt{R_{SAB}^{2}+{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{39}}{6}$ $\Rightarrow S=\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$.
A. $S=\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{2}$.
B. $S=\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $S=\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{2}$.
D. $S=\dfrac{11\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ cũng là khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Mặt khác hình chóp $S.ABC$ là một hình chóp có cạnh bên $BC$ vuông góc với mặt đáy nên $R=\sqrt{R_{SAB}^{2}+{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{39}}{6}$ $\Rightarrow S=\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án C.
