Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) với mặt đáy lần lượt là $90{}^\circ , 60{}^\circ , 60{}^\circ , 60{}^\circ $. Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, $AB=a$ và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
Gọi I là trung điểm AB. Tam giác SAB vuông cân tại S nên $SI\bot AB$ và $SI=\dfrac{a}{2}$. Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SI\bot \left( ABCD \right)$
Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=\dfrac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}$
Kẻ $IH\bot BC$ ta có góc giữa (SBC) và (ABCD) là $\widehat{SHI}$.
Do các mặt (SBC), (SCD), (SDA) tạo với (ABCD) các góc bằng nhau và bằng $60{}^\circ $ nên các khoảng cách từ I đến các cạnh CD, DA bằng nhau và bằng IH.
Ta có $\widehat{SHI}=60{}^\circ $ nên $IH=SI.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{6}$
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\left( BC+CD+DA \right).HI=\dfrac{1}{2}\left( 9a-AB \right).\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=\dfrac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}$
Kẻ $IH\bot BC$ ta có góc giữa (SBC) và (ABCD) là $\widehat{SHI}$.
Do các mặt (SBC), (SCD), (SDA) tạo với (ABCD) các góc bằng nhau và bằng $60{}^\circ $ nên các khoảng cách từ I đến các cạnh CD, DA bằng nhau và bằng IH.
Ta có $\widehat{SHI}=60{}^\circ $ nên $IH=SI.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{6}$
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\left( BC+CD+DA \right).HI=\dfrac{1}{2}\left( 9a-AB \right).\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$
Đáp án D.