Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD=2a$, SA vuông góc với đáy và $Sa=a\sqrt{3}$. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{6}}{8}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{6}}{16}$.
Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tứ giác ABCD cũng nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi $I$ là trung điểm AD thì các tam giác $\Delta IAB,\Delta IBC,\Delta ICD$ đều cạnh $a$ và $AC\bot CD$ nên $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Lấy $K\in BC;M\in AD$ sao cho $HK\text{//}SC;KM\text{//}CD$
$\Rightarrow d\left( H;\left( SCD \right) \right)=d\left( K;\left( SCD \right) \right)=d\left( M;\left( SCD \right) \right)$
$\Delta SAB$ vuông tại A có $SB=2a$ và
$SH.SB=S{{A}^{2}}\Leftrightarrow SH=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2a}=\dfrac{3a}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{MD}{DI}=\dfrac{KC}{CB}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}$
Vậy $\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MD}{2DI}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow \dfrac{d\left( M;\left( SCD \right) \right)}{d\left( A;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{3}{8}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot CD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)$
Trong mp $\left( SAC \right)$ kẻ $AN\bot SC$ tại N thì $AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=AN$.
$\Delta SAC$ vuông cân tại A do $SA=AC=a\sqrt{3}$ nên $AN=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy $d\left( H;\left( SCD \right) \right)=d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{8}.AN=\dfrac{3a\sqrt{6}}{16}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{6}}{8}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{6}}{16}$.
Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tứ giác ABCD cũng nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi $I$ là trung điểm AD thì các tam giác $\Delta IAB,\Delta IBC,\Delta ICD$ đều cạnh $a$ và $AC\bot CD$ nên $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Lấy $K\in BC;M\in AD$ sao cho $HK\text{//}SC;KM\text{//}CD$
$\Rightarrow d\left( H;\left( SCD \right) \right)=d\left( K;\left( SCD \right) \right)=d\left( M;\left( SCD \right) \right)$
$\Delta SAB$ vuông tại A có $SB=2a$ và
$SH.SB=S{{A}^{2}}\Leftrightarrow SH=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2a}=\dfrac{3a}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{MD}{DI}=\dfrac{KC}{CB}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}$
Vậy $\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MD}{2DI}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow \dfrac{d\left( M;\left( SCD \right) \right)}{d\left( A;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{3}{8}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot CD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)$
Trong mp $\left( SAC \right)$ kẻ $AN\bot SC$ tại N thì $AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=AN$.
$\Delta SAC$ vuông cân tại A do $SA=AC=a\sqrt{3}$ nên $AN=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy $d\left( H;\left( SCD \right) \right)=d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{8}.AN=\dfrac{3a\sqrt{6}}{16}$.
Đáp án D.