Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat{SBD}=60{}^\circ $. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Do tứ giác $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$ nên $BD=a\sqrt{2}$ và ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$.
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AB,SA\bot AD$.
Ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}};SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}\Rightarrow SB=SD$. Mà $\widehat{SBD}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta SBD$ đều.
Suy ra $SB=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Do tứ giác $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$ nên $BD=a\sqrt{2}$ và ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$.
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AB,SA\bot AD$.
Ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}};SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}\Rightarrow SB=SD$. Mà $\widehat{SBD}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta SBD$ đều.
Suy ra $SB=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.