Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $3a$. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm nằm trên đoạn $AB,AD$ sao cho $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{DN}{DA}=\dfrac{1}{3}$. Gọi $O$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Biết $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SO=\dfrac{5}{13}a$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng
A. $\dfrac{12}{13}a$.
B. $\dfrac{10}{13}a$.
C. $\dfrac{23}{13}a$.
D. $\dfrac{15}{13}a$.
Gọi $K,O$ lần lượt là giao điểm của $BN$ với $CD$ và $CM$. Kẻ $OI$ vuông góc $AB$ và $OH$ vuông góc $SI$ (như hình vẽ). Đặt $AB=x$. Khi đó: $BM=\dfrac{2x}{3}$ và $MC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{2x}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}x$.
Ta có: $\dfrac{ND}{BC}=\dfrac{DK}{KC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow CK=\dfrac{3x}{2}$. Mặt khác: $\dfrac{MO}{OC}=\dfrac{BM}{KC}=\dfrac{\dfrac{2x}{3}}{\dfrac{3x}{2}}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow CM=\dfrac{13}{4}OM$.
Do đó: $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{13}{4}d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{13}{4}OH$.
Ta có: $\dfrac{OI}{BC}=\dfrac{MO}{MC}=\dfrac{4}{13}\Rightarrow OI=\dfrac{4x}{13}=\dfrac{12}{13}a$. Khi đó: $OH=\dfrac{OI.SO}{\sqrt{O{{I}^{2}}+S{{O}^{2}}}}=\dfrac{60}{169}a$.
Vậy $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{13}{4}OH=\dfrac{15}{13}a$.
A. $\dfrac{12}{13}a$.
B. $\dfrac{10}{13}a$.
C. $\dfrac{23}{13}a$.
D. $\dfrac{15}{13}a$.
Ta có: $\dfrac{ND}{BC}=\dfrac{DK}{KC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow CK=\dfrac{3x}{2}$. Mặt khác: $\dfrac{MO}{OC}=\dfrac{BM}{KC}=\dfrac{\dfrac{2x}{3}}{\dfrac{3x}{2}}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow CM=\dfrac{13}{4}OM$.
Do đó: $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{13}{4}d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{13}{4}OH$.
Ta có: $\dfrac{OI}{BC}=\dfrac{MO}{MC}=\dfrac{4}{13}\Rightarrow OI=\dfrac{4x}{13}=\dfrac{12}{13}a$. Khi đó: $OH=\dfrac{OI.SO}{\sqrt{O{{I}^{2}}+S{{O}^{2}}}}=\dfrac{60}{169}a$.
Vậy $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{13}{4}OH=\dfrac{15}{13}a$.
Đáp án D.