Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA=\sqrt{2}a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $SBD$ là tam giác đều. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $2\pi {{a}^{3}}$.
B. $\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
A. $2\pi {{a}^{3}}$.
B. $\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
Đặt $AB=x\Rightarrow BD=\sqrt{2}x$ và $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}$
Tam giác $SBD$ đều $\Rightarrow SB=BD\Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{{{x}^{2}}+2a}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}a$
Hình chóp $S.ABCD$ có chiều cao $h=\sqrt{2}a$ ; bán kính đáy ${{R}_{ABCD}}=a$
Bán kính mặt cầu cần tính là $R=\sqrt{R_{ABCD}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{\left( \sqrt{2}a \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$
Vậy thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{6}a}{2} \right)}^{3}}=\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
Tam giác $SBD$ đều $\Rightarrow SB=BD\Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{{{x}^{2}}+2a}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}a$
Hình chóp $S.ABCD$ có chiều cao $h=\sqrt{2}a$ ; bán kính đáy ${{R}_{ABCD}}=a$
Bán kính mặt cầu cần tính là $R=\sqrt{R_{ABCD}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{\left( \sqrt{2}a \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$
Vậy thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{6}a}{2} \right)}^{3}}=\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án C.