Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $x$. Cạnh bên $SA=x\sqrt{6}$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính theo $x$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.
A. $8\pi {{x}^{2}}$.
B. ${{x}^{2}}\sqrt{2}$.
C. $2\pi {{x}^{2}}$.
D. $2{{x}^{2}}$.
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC$ (1)
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$ (2)
$\left. \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD$ (3)
(1), (2), (3) $\Rightarrow \Delta SAC,\Delta SBC,\Delta SCD$ là các tam giác vuông có chung cạnh huyền $SC$. Do đó mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$ là mặt cầu đường kính $SC$.
Bán kính $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}}}{2}=x\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ bằng $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .2{{x}^{2}}=8\pi {{x}^{2}}$
A. $8\pi {{x}^{2}}$.
B. ${{x}^{2}}\sqrt{2}$.
C. $2\pi {{x}^{2}}$.
D. $2{{x}^{2}}$.
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$ (2)
$\left. \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD$ (3)
(1), (2), (3) $\Rightarrow \Delta SAC,\Delta SBC,\Delta SCD$ là các tam giác vuông có chung cạnh huyền $SC$. Do đó mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$ là mặt cầu đường kính $SC$.
Bán kính $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}}}{2}=x\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ bằng $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .2{{x}^{2}}=8\pi {{x}^{2}}$
Đáp án A.