Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ ; góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)$.
$AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
Do đó: $\widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối chóp: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.a\sqrt{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)$.
$AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
Do đó: $\widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối chóp: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.a\sqrt{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án A.