Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA\bot \left( ABCD \right),$ góc giữa $SA$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng ${{30}^{{}^\circ }}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $O=AC\cap BD,$ kẻ $AH\bot SO\left( H\in SO \right).$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right).$
$\Rightarrow SH$ là hình chiếu vuông góc từ $SA$ xuống $\left( SBD \right).$
$\Rightarrow \left( \widehat{SA,\left( SBD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,SH} \right)=\widehat{ASH}=\widehat{ASO}={{30}^{\circ }}.$ $\Rightarrow SA=\cot {{30}^{\circ }}.OA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $O=AC\cap BD,$ kẻ $AH\bot SO\left( H\in SO \right).$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right).$
$\Rightarrow SH$ là hình chiếu vuông góc từ $SA$ xuống $\left( SBD \right).$
$\Rightarrow \left( \widehat{SA,\left( SBD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,SH} \right)=\widehat{ASH}=\widehat{ASO}={{30}^{\circ }}.$ $\Rightarrow SA=\cot {{30}^{\circ }}.OA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
Đáp án C.