Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $T$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $SB$ và $SC$. Tính thể tích của khối đa diện $MNPQRT$.
A. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
Ta có ${{V}_{MNPQRT}}={{V}_{NMRTP}}+{{V}_{QMRTP}}=2{{V}_{NMRTP}}$.
${{V}_{NMRTP}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{NMRP}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{RMNP}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{3}d\left( R,\left( MNP \right) \right){{S}_{MNP}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}$
$\Leftrightarrow {{V}_{NMRTP}}=\dfrac{3}{16}\dfrac{1}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right){{S}_{ABCD}}=\dfrac{3}{16}{{V}_{SABCD}}\Rightarrow {{V}_{IKEFGH}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{SABCD}}$
Do $M$ là trung điểm $AB$ nên $SM\bot AB$. Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\
SM\bot AB,SM\subset \left( SAB \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\Rightarrow {{V}_{IKEFGH}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
A. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
${{V}_{NMRTP}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{NMRP}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{RMNP}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{3}d\left( R,\left( MNP \right) \right){{S}_{MNP}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}$
$\Leftrightarrow {{V}_{NMRTP}}=\dfrac{3}{16}\dfrac{1}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right){{S}_{ABCD}}=\dfrac{3}{16}{{V}_{SABCD}}\Rightarrow {{V}_{IKEFGH}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{SABCD}}$
Do $M$ là trung điểm $AB$ nên $SM\bot AB$. Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\
SM\bot AB,SM\subset \left( SAB \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\Rightarrow {{V}_{IKEFGH}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Đáp án D.