Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân tại S có $SA=SB=2a$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi $\alpha $ là góc giữa SD và mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}.$
B. $\cot \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $cot\alpha =2\sqrt{3}.$
Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\bot AB.$
Ta có $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right),SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \widehat{\left( SD,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SD,HD \right)}=\widehat{SDH}=\alpha .$
Áp dụng định lí Pytago với các tam giác vuông SAH, ADH ta có:
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.$
$DH=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SH}{DH}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}:\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=\sqrt{3}.$
A. $\tan \alpha =\sqrt{3}.$
B. $\cot \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $cot\alpha =2\sqrt{3}.$
Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\bot AB.$
Ta có $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right),SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \widehat{\left( SD,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SD,HD \right)}=\widehat{SDH}=\alpha .$
Áp dụng định lí Pytago với các tam giác vuông SAH, ADH ta có:
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.$
$DH=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SH}{DH}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}:\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=\sqrt{3}.$
Đáp án A.