Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SC$. Thể tích khối chóp $S.ADNM$ là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
Góc giữa $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $\widehat{SOA}$. Vậy $\widehat{SOA}=60{}^\circ $.
Ta có: $SA=SO.\tan \widehat{SOA}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{48}$.
$\dfrac{{{V}_{S.AND}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.AND}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
Vậy ${{V}_{S.ADNM}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.AND}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
Ta có: $SA=SO.\tan \widehat{SOA}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{48}$.
$\dfrac{{{V}_{S.AND}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.AND}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
Vậy ${{V}_{S.ADNM}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.AND}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
Đáp án C.