Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi M là trung điểm cạnh SD, N là điểm trên cạnh BC sao cho $CN=2BN$. Biết rằng $MN=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}$, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo a.
A. $\dfrac{a\sqrt{14}}{7}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{14}$
D. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$
Ta có $CN=\dfrac{2}{3}a,BN=\dfrac{a}{3},DN=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{3},AN=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}$.
Đặt $SA=x$. Tính được $S{{D}^{2}}={{x}^{2}}+{{a}^{2}},S{{N}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}+{{x}^{2}}$.
Trong tam giác SDN ta có:
$M{{N}^{2}}=\dfrac{S{{N}^{2}}+D{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{D}^{2}}}{4}\Leftrightarrow 4.\dfrac{10{{a}^{2}}}{9}=2\left( \dfrac{10{{a}^{2}}}{9}+{{x}^{2}} \right)+2.\dfrac{13{{a}^{2}}}{9}-{{x}^{2}}-{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $O=AC\cap BD$, H là hình chiếu vuông góc của A trên SO.
Ta chứng minh được $AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Xét tam giác vuông SAO ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{14}}{7}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{14}$
D. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$
Đặt $SA=x$. Tính được $S{{D}^{2}}={{x}^{2}}+{{a}^{2}},S{{N}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}+{{x}^{2}}$.
Trong tam giác SDN ta có:
$M{{N}^{2}}=\dfrac{S{{N}^{2}}+D{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{D}^{2}}}{4}\Leftrightarrow 4.\dfrac{10{{a}^{2}}}{9}=2\left( \dfrac{10{{a}^{2}}}{9}+{{x}^{2}} \right)+2.\dfrac{13{{a}^{2}}}{9}-{{x}^{2}}-{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $O=AC\cap BD$, H là hình chiếu vuông góc của A trên SO.
Ta chứng minh được $AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Xét tam giác vuông SAO ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án B.