Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên $SA=2\text{a}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Gắn hệ tọa độ Oxyz, với $A\left( 0; 0; 0 \right), S\left( 0; 0; 2 \right), B\left( 1; 0; 0 \right), D\left( 0; 1; 0 \right)$
Do đó $C\left( 1; 1; 0 \right)$ và trung điểm M của SD là $M\left( 0; \dfrac{1}{2}; 1 \right)$
Ta có $\left[ \overrightarrow{SB}; \overrightarrow{SC} \right]=\left( 2; 0; 1 \right)$ và $\left[ \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{AC} \right]=\left( -1; 1; -\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $\cos \widehat{\left( AMC \right); \left( SBC \right)}=\dfrac{\left| {{\overrightarrow{u}}_{_{\left( AMC \right)}}}.{{\overrightarrow{u}}_{_{\left( SBC \right)}}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{u}}_{_{\left( AMC \right)}}} \right|.\left| {{\overrightarrow{u}}_{_{\left( SBC \right)}}} \right|}=\sqrt{5}$
Vậy $\tan \alpha =\sqrt{1-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }}=\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Tích có hướng: $\left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right]=\left( \left| \begin{matrix}
{{y}_{1}} & {{z}_{1}} \\
{{y}_{2}} & {{z}_{2}} \\
\end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix}
{{z}_{1}} & {{x}_{1}} \\
{{z}_{2}} & {{x}_{2}} \\
\end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix}
{{x}_{1}} & {{y}_{1}} \\
{{x}_{2}} & {{y}_{2}} \\
\end{matrix} \right| \right)$
Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}'}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}'}} \right|}$, trong đó $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{{{n}'}}$ là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng, $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng đó.
$1+{{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }, \alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi , k\in Z$
Do đó $C\left( 1; 1; 0 \right)$ và trung điểm M của SD là $M\left( 0; \dfrac{1}{2}; 1 \right)$
Ta có $\left[ \overrightarrow{SB}; \overrightarrow{SC} \right]=\left( 2; 0; 1 \right)$ và $\left[ \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{AC} \right]=\left( -1; 1; -\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $\cos \widehat{\left( AMC \right); \left( SBC \right)}=\dfrac{\left| {{\overrightarrow{u}}_{_{\left( AMC \right)}}}.{{\overrightarrow{u}}_{_{\left( SBC \right)}}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{u}}_{_{\left( AMC \right)}}} \right|.\left| {{\overrightarrow{u}}_{_{\left( SBC \right)}}} \right|}=\sqrt{5}$
Vậy $\tan \alpha =\sqrt{1-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }}=\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Note 12: Phương pháp chung
Nhận thấy AS, AB, AD đôi một vuông góc với nhau tại A nên dùng phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian với hệ trục Oxyz.Tích có hướng: $\left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right]=\left( \left| \begin{matrix}
{{y}_{1}} & {{z}_{1}} \\
{{y}_{2}} & {{z}_{2}} \\
\end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix}
{{z}_{1}} & {{x}_{1}} \\
{{z}_{2}} & {{x}_{2}} \\
\end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix}
{{x}_{1}} & {{y}_{1}} \\
{{x}_{2}} & {{y}_{2}} \\
\end{matrix} \right| \right)$
Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}'}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}'}} \right|}$, trong đó $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{{{n}'}}$ là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng, $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng đó.
$1+{{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }, \alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi , k\in Z$
Đáp án D.