Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SC=a\sqrt{5}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo a bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $SA\bot AC$.
Khi đó $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $SA\bot AC$.
Khi đó $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.