Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}a}{4}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{6}a}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$.
$ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}$.
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}$ tức là: $\widehat{SCA}={{45}^{0}}$. Khi đó $\Delta SAC$ vuông cân nên $SA=AC=2a\sqrt{2}$.
Vì $AB//CD$ nên khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
Kẻ $AH\bot SD,H\in SD$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& DC\bot SA \\
& DC\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow DC\bot AH$.
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot DC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SDC \right) $ nên khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left( SCD \right) $là $ AH$.
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{8}{3}{{a}^{2}}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{6}a}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}a}{4}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{6}a}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$.
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}$ tức là: $\widehat{SCA}={{45}^{0}}$. Khi đó $\Delta SAC$ vuông cân nên $SA=AC=2a\sqrt{2}$.
Vì $AB//CD$ nên khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
Kẻ $AH\bot SD,H\in SD$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& DC\bot SA \\
& DC\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow DC\bot AH$.
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD \\
& AH\bot DC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SDC \right) $ nên khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left( SCD \right) $là $ AH$.
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{8}{3}{{a}^{2}}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{6}a}{3}$.
Đáp án C.