Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Ta có $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ theo giao tuyến $AB$. Trong $\left( SAB \right)$ có $SH\bot AB$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Kẻ $HK\ \text{//}\ AD$ $\left( K\in CD \right)$ $\Rightarrow HK\bot CD$
mà $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow CD\bot SH$. Do đó $CD\bot \left( SHK \right)$.
Suy ra $\left( SCD \right)\bot \left( SHK \right)$ theo giao tuyến $SK$.
Trong $\left( SHK \right)$, kẻ $HI\bot SK$ thì $HI\bot \left( SCD \right)$.
Ta có: $AB\ \text{//}\ \left( SCD \right)$ nên $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HI$.
Tam giác $SAB$ vuông cân có $AB=2a\Rightarrow SH=a$.
Tam giác $SHK$ có $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Vậy $d\left( AB,SC \right)=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Ta có $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ theo giao tuyến $AB$. Trong $\left( SAB \right)$ có $SH\bot AB$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Kẻ $HK\ \text{//}\ AD$ $\left( K\in CD \right)$ $\Rightarrow HK\bot CD$
mà $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow CD\bot SH$. Do đó $CD\bot \left( SHK \right)$.
Suy ra $\left( SCD \right)\bot \left( SHK \right)$ theo giao tuyến $SK$.
Trong $\left( SHK \right)$, kẻ $HI\bot SK$ thì $HI\bot \left( SCD \right)$.
Ta có: $AB\ \text{//}\ \left( SCD \right)$ nên $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HI$.
Tam giác $SAB$ vuông cân có $AB=2a\Rightarrow SH=a$.
Tam giác $SHK$ có $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Vậy $d\left( AB,SC \right)=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Đáp án D.