Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Hỏi góc giữa hai đường thẳng TB và BD nằm trong khoảng nào dưới đây
A. $\left( 0;\dfrac{\pi }{6} \right).$
B. $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{4} \right].$
C. $\left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{3} \right).$
D. $\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right].$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Qua O ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
Gọi E, K, F, H, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SD, SC, BC, AD, EK
Ta có $FD=FS=a\sqrt{5}\Rightarrow \Delta SFD$ là tam giác cân tại $F\Rightarrow FE\bot SD$
Mặt khác, ta có $KE//FH$ (cùng song song với CD), nên 4 điểm K, E, F, H đồng phẳng.
Trong mặt phẳng (KEFH), gọi T là giao điểm của FE và ON.
Ta có T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD
Ta có tam giác EKO là tam giác đều cạnh a.
Nên $OT=\dfrac{2}{3}ON=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Bán kính mặt cầu là
$R=TD=\sqrt{O{{T}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$
Xét tam giác vuông TOB vuông tại B, ta có
$\cos \alpha =\dfrac{OB}{TB}=\sqrt{\dfrac{6}{7}}\Rightarrow \alpha \approx 0,3875.$
A. $\left( 0;\dfrac{\pi }{6} \right).$
B. $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{4} \right].$
C. $\left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{3} \right).$
D. $\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right].$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Qua O ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
Gọi E, K, F, H, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SD, SC, BC, AD, EK
Ta có $FD=FS=a\sqrt{5}\Rightarrow \Delta SFD$ là tam giác cân tại $F\Rightarrow FE\bot SD$
Mặt khác, ta có $KE//FH$ (cùng song song với CD), nên 4 điểm K, E, F, H đồng phẳng.
Trong mặt phẳng (KEFH), gọi T là giao điểm của FE và ON.
Ta có T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD
Ta có tam giác EKO là tam giác đều cạnh a.
Nên $OT=\dfrac{2}{3}ON=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Bán kính mặt cầu là
$R=TD=\sqrt{O{{T}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$
Xét tam giác vuông TOB vuông tại B, ta có
$\cos \alpha =\dfrac{OB}{TB}=\sqrt{\dfrac{6}{7}}\Rightarrow \alpha \approx 0,3875.$
Đáp án A.