Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $AB=1,$ cạnh bên $SA=1$ và vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right).$ Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho góc $MAN=45{}^\circ .$ Thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S.AMN$ là?
A. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}.$
Đặt $DM=x, BN=y$ ta có:
$\tan 45{}^\circ =\tan \left( DAM+BAN \right)=\dfrac{\tan DAM+\tan BAN}{1-\tan DAM.\tan BAN}=\dfrac{x+y}{1-xy}.$ Suy ra $y=\dfrac{1-x}{1+x}.$
Và $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1},$
$AN=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}}=\sqrt{1+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}{x+1}.$
Vì vậy
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{6}SA.AM.AN\sin 45{}^\circ =f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{6\left( x+1 \right)}\ge f\left( \sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}.$
Đặt $DM=x, BN=y$ ta có:
$\tan 45{}^\circ =\tan \left( DAM+BAN \right)=\dfrac{\tan DAM+\tan BAN}{1-\tan DAM.\tan BAN}=\dfrac{x+y}{1-xy}.$ Suy ra $y=\dfrac{1-x}{1+x}.$
Và $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1},$
$AN=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}}=\sqrt{1+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}{x+1}.$
Vì vậy
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{6}SA.AM.AN\sin 45{}^\circ =f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{6\left( x+1 \right)}\ge f\left( \sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}.$
Đáp án B.