Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $AB=1$, cạnh bên $SA=1$ và vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Kí hiệu $M$ là điểm di động trên đoạn $CD$ và $N$ là điểm di động trên đoạn $CB$ sao cho góc $MAN$ bằng $45{}^\circ $. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S.AMN$ là
A. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}$.
Đặt $\widehat{BAN}=\alpha $ suy ra $\widehat{MAD}=45{}^\circ -\alpha $.
Khi đó $AN=\dfrac{AB}{\cos \alpha }=\dfrac{1}{\cos \alpha }$ và $AM=\dfrac{AD}{\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}=\dfrac{1}{\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
Do đó diện tích tam giác $AMN$ bằng ${{B}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{4}.\dfrac{1}{\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
Thể tích $S.AMN$ bằng ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{B}_{AMN}}.SA=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.\dfrac{1}{\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
Thể tích của khối chóp $S.AMN$ nhỏ nhất khi $\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)$ lớn nhất.
Xét $f\left( \alpha \right)=\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)$ trong đó $\alpha \in \left( 0{}^\circ ;45{}^\circ \right)$.
Ta có ${f}'\left( \alpha \right)=\sin \left( 45{}^\circ -2\alpha \right)$ ; ${f}'\left( \alpha \right)=0\Leftrightarrow \alpha =\dfrac{45{}^\circ }{2}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $\underset{\alpha \in \left[ 0{}^\circ ;45{}^\circ \right]}{\mathop{\max }} f\left( \alpha \right)=f\left( \dfrac{45{}^\circ }{2} \right)=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$.
Vậy thể tích nhỏ nhất của $S.AMN$ bằng ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.\dfrac{1}{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}$.
Khi đó $AN=\dfrac{AB}{\cos \alpha }=\dfrac{1}{\cos \alpha }$ và $AM=\dfrac{AD}{\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}=\dfrac{1}{\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
Do đó diện tích tam giác $AMN$ bằng ${{B}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{4}.\dfrac{1}{\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
Thể tích $S.AMN$ bằng ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{B}_{AMN}}.SA=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.\dfrac{1}{\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
Thể tích của khối chóp $S.AMN$ nhỏ nhất khi $\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)$ lớn nhất.
Xét $f\left( \alpha \right)=\cos \alpha .\cos \left( 45{}^\circ -\alpha \right)$ trong đó $\alpha \in \left( 0{}^\circ ;45{}^\circ \right)$.
Ta có ${f}'\left( \alpha \right)=\sin \left( 45{}^\circ -2\alpha \right)$ ; ${f}'\left( \alpha \right)=0\Leftrightarrow \alpha =\dfrac{45{}^\circ }{2}$.
Bảng biến thiên
Vậy thể tích nhỏ nhất của $S.AMN$ bằng ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.\dfrac{1}{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
Đáp án A.