Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{BAC}=60{}^\circ $. Cạnh $SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $O=AC\cap BD$. Kẻ $OH\bot SA$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot SC \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot OH$.
Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SA \\
& OH\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( SA;BD \right)=OH$.
Từ $\Delta AHO\backsim \Delta ACS\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{OH}{SC}=\dfrac{OA}{SA}$
$\Rightarrow OH=\dfrac{SC.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{S{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}}$
Cạnh $AC=AB=a\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
$\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot SC \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot OH$.
Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SA \\
& OH\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( SA;BD \right)=OH$.
Từ $\Delta AHO\backsim \Delta ACS\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{OH}{SC}=\dfrac{OA}{SA}$
$\Rightarrow OH=\dfrac{SC.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{S{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}}$
Cạnh $AC=AB=a\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Đáp án A.