Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và...

Phương pháp:
- Gọi M là trung điểm của SD, nhận xét góc giữa SB và $\left(SCD\right)$ cũng bằng góc giữa OM và $\left(SCD\right)$.
- Xác định góc $\phi$ và tính $\sin \phi$.
Cách giải:

Gọi M là trung điểm của SD, nhận xét góc giữa SB và $\left(SCD\right)$ cũng bằng góc giữa OM và $\left(SCD\right)$ (vì $OM//SB$ ).
Gọi H là hình chiếu của O trên $\left(SCD\right)\Rightarrow (OM,\left(SCD\right))=(OM,MH)=OMH$.
Trong $\left(SBD\right)$ kẻ $OE//SH$, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông nên ${\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{O{C}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{O{D}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{O{E}^2}}$.
Ta dễ dàng tính được: $OC={\displaystyle \frac{a}{2}},OD={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Lại có ${\displaystyle \frac{OE}{SH}}={\displaystyle \frac{OD}{HD}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow OE={\displaystyle \frac{3}{4}}SH$, mà $SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}$.
Do đó $OE={\displaystyle \frac{3}{4}}SH={\displaystyle \frac{3}{4}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{4}}$.
Suy ra ${\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{4}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{8}{a^2}}\Rightarrow OH={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}$.
Tam giác OMH vuông tại H có $OM={\displaystyle \frac{1}{2}}SB={\displaystyle \frac{a}{2}};OH={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}\Rightarrow \sin OMH={\displaystyle \frac{OH}{OM}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Vậy $\sin \phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$